하이네-보렐 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 일반화
5. 하이네-보렐 성질
- 5.1. 위상 벡터 공간에서의 하이네-보렐 성질
6. 역사
7. 예
참조

1. 개요

하이네-보렐 정리는 균등 공간에서 콤팩트 공간과 완비 균등 공간이면서 완전 유계 공간이라는 조건이 동치임을 나타낸다. 특히 유클리드 공간의 부분 집합에서는 콤팩트 공간이 유계 집합이면서 닫힌 집합인 것과 동치이다. 이 정리는 콤팩트 집합이 닫혀 있고 유계임을 증명하는 데 사용되며, 하우스도르프 위상 공간에서도 적용된다. 하이네-보렐 정리는 거리 공간과 위상 벡터 공간에서 항상 성립하지 않으며, 이를 만족하는 공간을 하이네-보렐 성질을 갖는다고 한다. 이 정리는 에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 따서 명명되었으며, 19세기 실해석학의 발달과 함께 연구되었다.

더 읽어볼만한 페이지

위상수학 정리 - 조르당 곡선 정리
조르당 곡선 정리는 평면에서 단순 닫힌 곡선이 평면을 유계인 내부와 무계인 외부로 나누는 기본적인 정리로, 직관적으로 자명하지만 코흐 곡선과 같은 경우 증명이 어렵고, 조르당-쇤플리스 정리, 조르당-브라우어 분리 정리 등과 관련되며, 계산 기하학, 디지털 영상 처리 등에 응용된다.
위상수학 정리 - 볼차노-바이어슈트라스 정리
볼차노-바이어슈트라스 정리는 유클리드 공간에서 유계인 수열이 수렴하는 부분 수열을 가진다는 정리로, 실해석학에서 중요하며 경제학의 균형 개념 증명에도 활용된다.
실해석학 정리 - 미적분학의 기본 정리
미적분학의 기본 정리는 미분과 적분 사이의 관계를 설명하는 미적분학의 핵심 정리로서, 제1 기본 정리와 제2 기본 정리로 구성되며, 17세기에 발전되어 르베그 적분 등으로 일반화된다.
실해석학 정리 - 볼차노-바이어슈트라스 정리
볼차노-바이어슈트라스 정리는 유클리드 공간에서 유계인 수열이 수렴하는 부분 수열을 가진다는 정리로, 실해석학에서 중요하며 경제학의 균형 개념 증명에도 활용된다.
일반위상수학 - 극한
극한은 수학에서 함수의 값이나 수열의 항이 특정 값에 가까워지는 현상을 기술하는 개념으로, ε-δ 논법으로 엄밀하게 정의되며 수렴, 연속성, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용되고, 고대 그리스에서 시작하여 19세기에 현대적 정의가 완성되었다.
일반위상수학 - 스콧 위상
스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.

하이네-보렐 정리
개요
분야	실해석학
관련 개념	콤팩트성
명명자	에두아르트 하이네, 에밀 보렐
내용
설명	유클리드 공간의 부분 집합은 닫힌 집합이고 유계 집합일 필요충분조건은 콤팩트 집합이다.

2. 정의

균등 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

콤팩트 공간이다.
완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

특히,

X

가 유클리드 공간의 부분 집합일 경우,

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완전 유계 공간이다.
유계 집합이다.

마찬가지로,

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완비 균등 공간이다.
닫힌집합이다.

따라서,

X

가 유클리드 공간의 부분 집합일 경우, 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

콤팩트 공간이다.
유계 집합이며 닫힌집합이다.

3. 증명

균등 공간 $X$ 에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다:^[10]

콤팩트 공간이다.
완비 균등 공간이며, 완전 유계 공간이다.

콤팩트 균등 공간

(X,\mathcal E)

위의 코시 필터는 집적점을 가지며, 따라서 이 집적점으로 수렴한다. 즉, 모든 콤팩트 균등 공간은 완비 균등 공간이다. 이제,

X

가 완전 유계 공간임을 보이려면, 임의의 측근

E\in\mathcal E

에 대하여,

E

-작은 집합들로 구성된

X

의 유한 덮개를 찾으면 충분하다. 다음 조건들을 만족시키는 측근

F\in\mathcal E

가 존재한다.

$F\circ F\subseteq E$
$F$ 는 대칭 관계이다.
$F\subseteq X\times X$ 는 열린집합이다.

이제

:

F[x,-]=\{y\colon(x,y)\in F\}

라고 하자. 그렇다면,

\{F[x,-]\colon x\in X\}

는 유한 부분 덮개

\{F[x_1,-],\dots,F[x_n,-]\}

를 갖는다. 또한, 모든

F[x_i,-]

는

E

-작은 집합이다.

반대로, 균등 공간

(X,\mathcal E)

가 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간임을 보이자. 임의의

X

위의 극대 필터

\mathcal F

가 수렴함을 보이면 충분하다.

X

가 완비 균등 공간이므로,

\mathcal F

가 코시 필터임을 보이면 된다. 임의의 측근

E\in\mathcal E

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완전 유계성에 따라

E

-작은 집합들로 구성된

X

의 유한 덮개

\{A_1,\dots,A_n\}

이 존재한다.

\mathcal F

는 극대 필터이므로,

A_i\in\mathcal F

인

i\in\{1,\dots,n\}

이 존재한다.

특히,

X

가 유클리드 공간의 부분 집합이라고 하면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[10]

완전 유계 공간이다.
유계 집합이다.

마찬가지로,

X

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[10]

완비 균등 공간이다.
닫힌집합이다.

따라서,

X

의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

콤팩트 공간이다.
유계 집합이며 닫힌집합이다.

이후 내용은 다음 하위 섹션을 통해 확인할 수 있다.

집합이 콤팩트하면, 닫혀 있다.
집합이 콤팩트하면, 유계이다.
보조정리: 콤팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 콤팩트하다.
집합이 닫혀 있고 유계이면, 콤팩트하다.

3. 1. 집합이 콤팩트하면, 닫혀 있다.

실수^''n''의 부분 집합 ''S''가 주어졌을 때, ''S''가 콤팩트하면 닫혀 있다는 것을 증명하는 과정은 다음과 같다.

먼저, ''a''가 ''S''의 극한점이라고 가정한다. 유한 개의 열린 집합 ''C''가 주어질 때, 각 열린 집합 ''U'' ∈ ''C''가 ''a''의 어떤 근방 ''V''_''U''와 서로소(교집합이 없음)이면, ''C''는 ''S''를 덮지 못한다. 왜냐하면, 유한 집합족 ''V''_''U''의 교집합은 '''R'''^''n''에서 ''a''의 근방 ''W''가 되고, ''a''는 ''S''의 극한점이므로 ''W''는 ''S''의 어떤 점 ''x''를 반드시 포함해야 하기 때문이다. 이 ''x''는 집합족 ''C''에 의해 덮이지 않는데, ''C''의 모든 ''U''가 ''V''_''U''와 서로소이고, 따라서 ''x''를 포함하는 ''W''와도 서로소이기 때문이다.^[1]

만약 ''S''가 콤팩트하지만 닫혀 있지 않다면, ''S''에 포함되지 않는 극한점 ''a''를 갖게 된다. 이때, 각 ''x'' ∈ ''S''에 대해 열린 근방 ''N''(''x'')로 구성된 집합을 생각할 수 있다. 이 근방은 ''a''의 어떤 근방 ''V''_''x''와 교차하지 않도록 충분히 작게 선택할 수 있다. 그러면 이 집합은 ''S''의 열린 덮개가 되지만, 이 집합의 어떤 유한 부분 집합도 ''S''를 덮을 수 없다. 이는 앞서 설명한 ''C''의 형태와 ''S''의 콤팩트성에 모순된다.^[1] 따라서 ''S''의 모든 극한점은 ''S''에 포함되어야 하므로, ''S''는 닫혀 있다.^[1]

이 증명은 하우스도르프 위상 공간 ''X''의 모든 콤팩트 부분 집합 ''S''가 ''X''에서 닫혀 있음을 보이는 데에도 거의 동일하게 적용된다.^[1]

3. 2. 집합이 콤팩트하면, 유계이다.

S^영어를 의 콤팩트 집합이라 하고, U|sub|x^영어를 x^영어∈을 중심으로 하는 반지름 1인 공이라고 하자. 그러면 x^영어∈ S^영어를 중심으로 하는 모든 공의 집합은 S^영어를 덮는 열린 덮개임이 분명하다. 왜냐하면 ∪_{x^영어∈S^영어}} U|sub|x^영어는 S^영어의 모든 것을 포함하기 때문이다. S^영어가 콤팩트하므로, 이 덮개의 유한 부분 덮개를 취한다. 이 부분 덮개는 반지름이 1인 공의 유한 합집합이다. 이 유한한 공(반지름 1)의 중심의 모든 쌍을 고려하고, M^영어을 그 사이의 거리의 최댓값이라고 하자. 그러면 C|sub|p^영어와 C|sub|q^영어가 각각 임의의 p^영어,q^영어∈S^영어를 포함하는 단위 공의 중심이면, 삼각 부등식에 따라 다음과 같다.

:

따라서 S^영어의 지름은 M^영어+2로 유계이다.

3. 3. 보조정리: 콤팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 콤팩트하다.

''K''를 '''R'''^''n''에서 콤팩트 집합 ''T''의 닫힌 부분 집합이라고 하고, ''C''_''K''를 ''K''의 열린 덮개라고 하자. 그러면 는 열린 집합이고,

C_T = C_K \cup \{U\}

는 ''T''의 열린 덮개이다. ''T''는 콤팩트하므로 ''C''_''T''는 더 작은 집합 ''K''도 덮는 유한 부분 덮개

C_T'

를 갖는다. ''U''는 ''K''의 어떤 점도 포함하지 않으므로 집합 ''K''는 원래 집합족 ''C''_''K''의 유한 부분 집합인

C_K' = C_T' \setminus \{U\},

에 의해 이미 덮여 있다. 따라서 ''K''의 모든 열린 덮개 ''C''_''K''에서 유한 부분 덮개를 추출할 수 있다.^[1]

3. 4. 집합이 닫혀 있고 유계이면, 콤팩트하다.

유클리드 공간의 부분 집합

X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[10]

완전 유계 공간이다.
유계 집합이다.

마찬가지로,

X

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

완비 균등 공간이다.
닫힌집합이다.

따라서,

X

의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 동치이다.

콤팩트 공간이다.
유계 집합이며 닫힌집합이다.

'''R'''^''n''의 집합 ''S''가 유계이면, 다음 식과 같이 표현되는 ''n''-상자 안에 포함될 수 있다.

T_0 = [-a, a]^n

(여기서 ''a'' > 0)

이제 ''T''₀가 콤팩트임을 보이면 충분하다.

귀류법을 사용하여, ''T''₀가 콤팩트하지 않다고 가정하자. 그러면 유한 부분 덮개를 허용하지 않는 ''T''₀의 무한 열린 덮개 ''C''가 존재한다. ''T''₀의 각 변을 이등분하면, 상자 ''T''₀는 2^''n''개의 부분 ''n''-상자로 나눌 수 있으며, 각 부분 ''n''-상자는 ''T''₀ 지름의 절반과 같은 지름을 갖는다. 그러면 2^''n''개의 섹션 중 적어도 하나는 ''C''의 무한 부분 덮개를 필요로 해야 한다. 그렇지 않으면 각 섹션의 유한 덮개를 합쳐 ''C'' 자체에 유한 부분 덮개가 존재하게 되기 때문이다. 이 섹션을 ''T''₁이라고 부르자.

마찬가지로, ''T''₁의 변을 이등분하면 2^''n''개의 ''T''₁ 섹션이 생성되며, 그중 적어도 하나는 ''C''의 무한 부분 덮개를 필요로 해야 한다. 이러한 방식으로 계속 진행하면 다음과 같이 감소하는 중첩된 ''n''-상자 시퀀스가 생성된다.

T_0 \supset T_1 \supset T_2 \supset \ldots \supset T_k \supset \ldots

여기서 ''T''_''k''의 변의 길이는 (2''a'') / 2^''k'' 이고, 이는 ''k''가 무한대로 갈 때 0으로 접근한다. 각 ''x''_k가 ''T''_k에 있도록 시퀀스 (''x''_k)를 정의한다. 이 시퀀스는 코시이므로 어떤 극한 ''L''로 수렴해야 한다. 각 ''T''_''k''는 닫혀 있고, 각 ''k''에 대해 시퀀스 (''x''_k)는 결국 항상 ''T''_k 내부에 있으므로, 모든 ''k''에 대해 ''L'' ∈ ''T''_k임을 알 수 있다.

''C''는 ''T''₀를 덮으므로, ''L'' ∈ ''U''인 일부 멤버 ''U'' ∈ ''C''가 존재한다. ''U''가 열려 있으므로, B(''L'') ⊆ ''U'' 인 ''n''-공이 존재한다. 충분히 큰 ''k''에 대해, T_''k'' ⊆ B(''L'') ⊆ ''U''를 갖지만, 그러면 ''T''_k''를 덮는 데 필요한 ''C''의 무한 개 멤버를 단 하나, 즉 ''U''로 대체할 수 있는데, 이는 모순이다.

따라서 ''T''₀는 콤팩트하다. ''S''는 닫혀 있고 콤팩트 집합 ''T''₀의 부분 집합이므로, ''S'' 역시 콤팩트하다.

4. 일반화

일반적인 거리 공간에서 다음과 같은 정리가 성립한다.

거리 공간 $(X, d)$ 의 부분 집합 $S$ 에 대해, 다음 두 명제는 서로 동치이다.

$S$ 는 콤팩트이다.
$S$ 는 전콤팩트^[3]이며 완비이다.^[4]

위 정리는 장 뫼르스 디외도네의 정리 3.16.1^[5]에서 직접적으로 파생되며, 내용은 다음과 같다.

거리 공간

(X, d)

에 대해, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

(a) $X$ 는 콤팩트이다.
(b) $X$ 의 무한 수열은 적어도 하나의 극한점을 갖는다.^[6]
(c) $X$ 는 전콤팩트이며 완비이다.

5. 하이네-보렐 성질

하이네-보렐 정리는 일반적인 거리 공간과 위상 벡터 공간에서는 성립하지 않는다. 따라서 이 명제가 참인 특수한 종류의 공간을 고려해야 하는데, 이러한 공간을 하이네-보렐 성질을 갖는다고 한다.

5. 1. 위상 벡터 공간에서의 하이네-보렐 성질

위상 벡터 공간

X

에서 각 닫힌 유계^[8] 집합이 콤팩트하면 '''하이네-보렐 성질'''을 갖는다고 한다.^[9] 무한 차원 바나흐 공간은 (위상 벡터 공간으로서) 하이네-보렐 성질을 갖지 않는다. 그러나 일부 무한 차원 프레셰 공간은 하이네-보렐 성질을 갖는데, 예를 들어 열린 집합

\Omega\subset\mathbb{R}^n

에 대한 매끄러운 함수의 공간

C^\infty(\Omega)

과 열린 집합

\Omega\subset\mathbb{C}^n

에 대한 정칙 함수의 공간

H(\Omega)

가 있다. 더 일반적으로, 모든 준 완비 핵 공간은 하이네-보렐 성질을 갖는다. 모든 몽텔 공간 역시 하이네-보렐 성질을 갖는다.

6. 역사

페터 구스타프 르죈 디리클레는 1852년 강의에서 균등 연속 개념과 닫힌 유계 구간에서 정의된 모든 연속 함수는 균등 연속이라는 정리를 증명했으며, 닫힌 구간의 주어진 열린 덮개에 대한 유한 부분 덮개의 존재를 증명에 암묵적으로 사용했다.^[1] 이 증명은 1904년에 출판되었다.^[1] 이후 에두아르트 하이네, 카를 바이어슈트라스, 살바토레 핀케를레가 유사한 기법을 사용했다. 에밀 보렐은 1895년에 오늘날 하이네-보렐 정리라고 불리는 정리의 한 형태를 처음으로 제시하고 증명했다. 그의 공식화는 가산 덮개로 제한되었다. 피에르 쿠쟁(1895), 앙리 르베그(1898), 쇤플리스(1900)는 이를 임의의 덮개로 일반화했다.^[2]

7. 예

이산 거리 공간에서 실수 집합 $\mathbb R$ 의 부분 집합 $[0, 1]$ 은 유계이고 닫힌집합이며 완비 거리 공간이지만, 완전 유계 공간이 아니므로 콤팩트 집합이 아니다.

참조

_[1] 논문 A Pedagogical History of Compactness 2015-08
_[2] arXiv A pedagogical history of compactness
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 서적 Foundations of Modern Analysis, Volume 1 Academic Press, New York, London 1969
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 저널 A totally bounded, complete uniform space is compact 1965

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com